فهو الواسطة المجهولة . ( أش ، 31 ، 12 ) - كل أربعة أعداد متناسبة متوالية فإن طرفيها مكعّبان ، وكل ثلاثة أعداد متناسبة فإن طرفيها مربعان . فأما إذا كانت أربعة أعداد متناسبة غير متوالية ، وكان المعلوم منها عددين ، لم يمكن استخراج المجهولين المعلومين . ( أش ، 31 ، 30 ) أرض - قد وضح أن الأرض إذا كانت خارجة عن المحور ومساوية البعد من كل واحد من القطبين ، فإن الشمس إذا كانت في معدّل النهار لم يتساو الليل والنهار على أحد ممّن في الأرض . ( كصع ، 186 ، 4 ) - ليس الأرض خارجة بمن عليها إلى المشارق أو إلى المغارب ، ومتساوية البعدين من الأقطاب . ( كصع ، 189 ، 5 ) - إن كانت الأرض على المحور وبعدها عن أحد القطبين أقرب ، وجب من ذلك أن يكون الأفق في كل موضع من الأرض يفصل ما غاب من السماء وما يظهر منها بقسمين غير متساويين ، ويكون على الاختلاف في كل موضع مخالفا لما سواه من باقي المواضع إلّا أفقا واحدا فإنه يفصل ما غاب من السماء عنه وما ظهر منها عليه بقسمين متساويين ، وهذا الأفق هو الأفق للموضع من الأرض الذي بعده من قطبي الأرض بعد واحد ، واختلف بعداها من القطبين إلّا أن محورها في الحالتين جميعا هو محور معدّل النهار ، فإن أفق الموضع منها الذي بعده من قطبيها بعد واحد هو أفق معدّل النهار في سطح واحد ، لأن أفق هذا الموضع ومحور الأرض في سطح واحد حيث كانت الأرض من محور معدّل النهار أو محور الأرض ، هو محور معدّل النهار ، فأفق الأرض في هذا الموضع ، وأفق معدلّ النهار يفصل السماء بقسمين متساويين بسطح أفق الأرض في هذا الموضع حيث كانت الأرض من محور معدّل النهار ، ويفصل السماء بفصلين متساويين ، فأفق هذا الموضع يصيّر ما يظهر من السماء مساويا لما يغيب منها ، كما قدّمنا . ( كصع ، 189 ، 7 ) - أما إذا كانت الأرض خارجة ، وهي على المحور ، إلى جهة أحد القطبين ، فإنه لا يمكن أن تكون الظلال عند الشروق وعند الغروب ، إذا كانت الشمس في أحد الاعتدالين تمرّ على خط واحد مستقيم في شيء من المساكن المائلة عن معدّل النهار إلى جهة الجنوب ، كالذي تبيّن أنه يعرض في ذلك إذا كان مركز الأرض وهو محور متساوي البعد من قطبي معدّل النهار . ( كصع ، 196 ، 1 ) - بما تقدّم يتبيّن أن الأرض لو كانت خارجة عن محور معدّل النهار وبعدها من أحد قطبي معدّل النهار أقرب من بعدها من القطب الآخر أن الخلاف التي ظهرت لا ترى إذا فرضت خارجة عن محور معدّل النهار ، ومتساو بعدها من القطبين أو فرض مركزها على محور معدلّ النهار وكانت مائلة إلى أحد القطبين ، فظهر جميعا .